โปรแกรมคำนวณลำดับและอนุกรมเลขคณิต (Arithmetic Progression)
ลำดับเลขคณิตคือลำดับที่พจน์ถัดไปเพิ่มขึ้นด้วยผลต่างร่วม d คงที่ พจน์ที่ n คือ aₙ = a₁ + (n − 1)d และผลบวก n พจน์แรกคือ Sₙ = n/2 [2a₁ + (n − 1)d] = n/2 (a₁ + aₙ) เช่น a₁ = 3, d = 4 ได้ a₁₀ = 3 + 9(4) = 39 และ S₁₀ = 10/2 (3 + 39) = 210
ประวัติการคำนวณ (เก็บในเครื่องนี้)
วิธีใช้ลำดับเลขคณิต
- เลือกโจทย์: หาพจน์ที่ n และผลบวก, หา a₁ กับ d จากพจน์ที่รู้สองพจน์, หรือหาว่าค่าหนึ่งเป็นพจน์ที่เท่าไร
- กรอกพจน์แรก ผลต่างร่วม และจำนวนพจน์ (ใส่ค่าลบหรือทศนิยมได้)
- อ่าน aₙ, Sₙ, พจน์ทั่วไป ตารางพจน์แรก ๆ และกราฟในกล่องผลลัพธ์
สูตรลำดับและอนุกรมเลขคณิต
aₙ = a₁ + (n − 1)d
Sₙ = n/2 [2a₁ + (n − 1)d] = n/2 (a₁ + aₙ)
- d = aₙ₊₁ − aₙ ผลต่างร่วม: ถ้า d > 0 ลำดับเพิ่ม, d < 0 ลำดับลด, d = 0 ลำดับคงตัว
- รู้สองพจน์ aₚ และ a_q: d = (a_q − aₚ) ÷ (q − p) แล้วแทนกลับหา a₁ = aₚ − (p − 1)d
- หาจำนวนพจน์: n = (aₙ − a₁) ÷ d + 1 ต้องได้จำนวนเต็มบวก ไม่เช่นนั้นค่านั้นไม่ใช่พจน์ของลำดับ
- พจน์กลางของลำดับที่มีจำนวนพจน์เป็นเลขคี่เท่ากับค่าเฉลี่ยของทั้งลำดับ และ Sₙ ÷ n = (a₁ + aₙ)/2 เสมอ
ตัวอย่างการคำนวณ
ลำดับ 3, 7, 11, 15, … จงหาพจน์ที่ 10 และผลบวก 10 พจน์แรก
- a₁ = 3, d = 7 − 3 = 4
- a₁₀ = 3 + (10 − 1)(4) = 3 + 36 = 39
- S₁₀ = 10/2 × (3 + 39) = 5 × 42 = 210
ลำดับเลขคณิตมี a₃ = 11 และ a₈ = 31 จงหา a₁ และ d: (8 − 3)d = 31 − 11 → 5d = 20 → d = 4 และ a₁ = 11 − 2(4) = 3 พจน์ทั่วไปคือ aₙ = 4n − 1
ที่มาของสูตร Sₙ (วิธีของเกาส์)
เขียนผลบวกสองครั้ง ครั้งแรกเรียงจากหน้าไปหลัง ครั้งที่สองเรียงกลับ แล้วบวกกันเป็นคู่: (a₁ + aₙ) + (a₂ + aₙ₋₁) + … ทุกคู่มีค่าเท่ากันคือ a₁ + aₙ มีทั้งหมด n คู่ ดังนั้น 2Sₙ = n(a₁ + aₙ) จึงได้ Sₙ = n/2 (a₁ + aₙ) เรื่องเล่าว่าเกาส์ใช้วิธีนี้บวก 1 ถึง 100 ได้ 5,050 ตั้งแต่ยังเป็นเด็ก
โจทย์ที่พบบ่อย
- แทรกพจน์: แทรก k จำนวนระหว่าง a กับ b ให้เป็นลำดับเลขคณิต ได้ d = (b − a)/(k + 1)
- ผลบวกจำนวนที่หารลงตัว: จำนวนตั้งแต่ 1 ถึง 100 ที่หารด้วย 3 ลงตัวคือ 3, 6, …, 99 มี 33 พจน์ ผลบวก = 33/2 (3 + 99) = 1,683
- รู้ Sₙ หา n: ตั้งสมการ n/2 [2a₁ + (n − 1)d] = Sₙ ได้สมการกำลังสองใน n
คำถามที่พบบ่อย
ลำดับเลขคณิตกับลำดับเรขาคณิตต่างกันอย่างไร
ลำดับเลขคณิตพจน์ถัดไปได้จากการบวกค่าคงที่ (ผลต่างร่วม d) ส่วนลำดับเรขาคณิตได้จากการคูณค่าคงที่ (อัตราส่วนร่วม r) เช่น 2, 5, 8, 11 เป็นเลขคณิต แต่ 2, 6, 18, 54 เป็นเรขาคณิต
d เป็นลบหรือทศนิยมได้ไหม
ได้ d เป็นจำนวนจริงใดก็ได้ ถ้า d เป็นลบลำดับจะลดลงเรื่อย ๆ เช่น 10, 7.5, 5, 2.5 มี d = −2.5
ทำไม n ต้องเป็นจำนวนเต็ม
เพราะ n คือลำดับที่ของพจน์ ถ้าคำนวณแล้วได้ n ไม่เป็นจำนวนเต็มบวก แสดงว่าค่านั้นไม่ได้อยู่ในลำดับ เช่น 20 ไม่ใช่พจน์ของ 3, 7, 11, … เพราะ (20 − 3)/4 + 1 = 5.25