สมการและพีชคณิต

โปรแกรมหารยาวพหุนาม (Polynomial Long Division)

การหารพหุนาม P(x) ด้วย D(x) ให้ผลหาร Q(x) และเศษเหลือ R(x) ที่มีดีกรีต่ำกว่าตัวหาร โดย P(x) = D(x)·Q(x) + R(x) ทำโดยนำพจน์หน้าสุดของตัวตั้งหารด้วยพจน์หน้าสุดของตัวหาร คูณกลับ ลบ แล้วทำซ้ำ เช่น (2x³ − 3x² + 4x − 5) ÷ (x − 2) ได้ผลหาร 2x² + x + 6 เศษ 7 ซึ่งเท่ากับ P(2) ตามทฤษฎีบทเศษเหลือ

อัปเดต ใช้ฟรี ไม่ต้องสมัครคำนวณในเครื่องของคุณ

ใช้ ^ หรือ ² ³ เป็นเลขชี้กำลัง เขียนผลคูณของวงเล็บได้
ตัวอย่าง:

ช่องตัวเลขพิมพ์สูตรได้ เช่น 25000*12 · ผลลัพธ์อัปเดตทันทีเมื่อแก้ตัวเลข

ผลลัพธ์

วิธีใช้หารยาวพหุนาม

  1. พิมพ์ตัวตั้ง P(x) และตัวหาร D(x) เช่น 2x^3 − 3x^2 + 4x − 5 และ x − 2 (ใช้ ^ หรือ ² ³ ได้)
  2. อ่านผลหาร Q(x) และเศษเหลือ R(x) พร้อมรูป P(x) = D(x)·Q(x) + R(x)
  3. ดูตารางหารยาวทีละขั้น ถ้าตัวหารเป็นเชิงเส้นจะมีตารางหารสังเคราะห์และการตรวจด้วยทฤษฎีบทเศษเหลือให้ด้วย

ขั้นตอนการหารยาวพหุนาม

P(x) = D(x) · Q(x) + R(x) โดย deg R < deg D

  1. เรียงพจน์ของตัวตั้งและตัวหารตามกำลังจากมากไปน้อย ถ้าขาดพจน์ใดให้เขียน 0 แทน (เช่น x³ + 1 เขียนเป็น x³ + 0x² + 0x + 1)
  2. นำพจน์หน้าสุดของตัวตั้งหารด้วยพจน์หน้าสุดของตัวหาร ได้พจน์แรกของผลหาร
  3. คูณพจน์นั้นกลับเข้ากับตัวหารทั้งหมด แล้วนำไปลบออกจากตัวตั้ง
  4. ทำซ้ำกับเศษที่ได้ จนกว่าดีกรีของเศษจะน้อยกว่าดีกรีของตัวหาร

หารสังเคราะห์ ใช้ได้เมื่อตัวหารเป็น x − c: เขียนเฉพาะสัมประสิทธิ์ นำตัวแรกลงมา คูณ c แล้วบวกกับตัวถัดไปเรื่อย ๆ ตัวสุดท้ายคือเศษเหลือ

ทฤษฎีบทเศษเหลือ: เศษจากการหาร P(x) ด้วย (x − c) เท่ากับ P(c) และถ้า P(c) = 0 แสดงว่า (x − c) เป็นตัวประกอบ (ทฤษฎีบทตัวประกอบ)

ตัวอย่างการคำนวณ

หาร 2x³ − 3x² + 4x − 5 ด้วย x − 2

  1. 2x³ ÷ x = 2x² → 2x²(x − 2) = 2x³ − 4x² ลบออก เหลือ x² + 4x − 5
  2. x² ÷ x = x → x(x − 2) = x² − 2x ลบออก เหลือ 6x − 5
  3. 6x ÷ x = 6 → 6(x − 2) = 6x − 12 ลบออก เหลือ 7 (ดีกรี 0 น้อยกว่าตัวหารแล้ว หยุด)

ผลหาร 2x² + x + 6 เศษเหลือ 7 ตรวจด้วยทฤษฎีบทเศษเหลือ: P(2) = 16 − 12 + 8 − 5 = 7 ✓

หารสังเคราะห์ด้วย 2: สัมประสิทธิ์ 2, −3, 4, −5 → นำ 2 ลง; 2×2 − 3 = 1; 1×2 + 4 = 6; 6×2 − 5 = 7 ได้ 2, 1, 6 | 7 ตรงกัน

หารยาวกับหารสังเคราะห์ต่างกันอย่างไร

หารยาวหารสังเคราะห์
ตัวหารที่ใช้ได้พหุนามดีกรีใดก็ได้เฉพาะ x − c (ดีกรี 1)
สิ่งที่เขียนพจน์เต็ม ๆ พร้อมตัวแปรเฉพาะสัมประสิทธิ์
ความเร็วช้ากว่า ผิดเครื่องหมายได้ง่ายเร็ว เหมาะกับการลองรากหลายค่า
ถ้าตัวหารเป็น ax + bทำได้ตรง ๆใช้ c = −b/a แล้วหารผลหารด้วย a อีกครั้ง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • ลืมใส่ 0 แทนพจน์ที่ขาด ทำให้คอลัมน์เลื่อน
  • ลบผิดเครื่องหมาย: การลบ (2x³ − 4x²) ต้องเปลี่ยนเป็นบวก 4x² ไม่ใช่ลบ
  • หยุดหารเร็วเกินไป ต้องหารจนดีกรีของเศษน้อยกว่าดีกรีของตัวหารจริง ๆ
  • ในหารสังเคราะห์ใช้ค่า c ผิดเครื่องหมาย: ตัวหาร x + 3 ต้องใช้ c = −3

คำถามที่พบบ่อย

ทฤษฎีบทเศษเหลือใช้ทำอะไร

ใช้หาเศษจากการหารด้วย (x − c) โดยไม่ต้องหารจริง เพียงแทน x = c ลงใน P(x) ถ้า P(c) = 0 แสดงว่า x − c เป็นตัวประกอบของ P(x) ซึ่งเป็นหัวใจของการแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสูง

ตัวหารเป็น 2x + 1 ใช้หารสังเคราะห์ได้ไหม

ได้ ให้ใช้ c = −1/2 หารสังเคราะห์ตามปกติ เศษเหลือที่ได้ถูกต้องเลย แต่ผลหารต้องนำไปหารด้วย 2 อีกครั้ง เพราะ 2x + 1 = 2(x + 1/2) โปรแกรมแสดงขั้นนี้ให้อัตโนมัติ

ถ้าดีกรีของตัวตั้งน้อยกว่าตัวหารจะเป็นอย่างไร

หารไม่ได้ ผลหารเป็น 0 และเศษเหลือคือตัวตั้งทั้งก้อน เช่นเดียวกับ 3 ÷ 7 ที่ได้ผลหาร 0 เศษ 3

เศษเหลือเป็นเศษส่วนได้ไหม

ได้ ถ้าสัมประสิทธิ์ของพจน์หน้าสุดของตัวหารไม่ใช่ 1 หรือ −1 ผลหารและเศษอาจเป็นเศษส่วน โปรแกรมคำนวณด้วยเศษส่วนแม่นตรง ไม่ปัดทศนิยม

แหล่งอ้างอิง

เครื่องมือที่เกี่ยวข้อง