โปรแกรมหาดีเทอร์มิแนนต์ อินเวอร์ส และทรานสโพสของเมทริกซ์
สำหรับเมทริกซ์ 2 × 2 det[a b; c d] = ad − bc และ A⁻¹ = (1 / det A)·[d −b; −c a] ซึ่งหาได้เมื่อ det A ≠ 0 เท่านั้น ขนาด 3 × 3 ใช้กฎซาร์รัสหรือกระจายโคแฟกเตอร์ แล้ว A⁻¹ = adj(A) ÷ det(A) เช่น A = [4 7; 2 6] มี det = 24 − 14 = 10 และ A⁻¹ = [3/5 −7/10; −1/5 2/5]
ประวัติการคำนวณ (เก็บในเครื่องนี้)
วิธีใช้ดีเทอร์มิแนนต์และอินเวอร์ส
- เลือกสิ่งที่ต้องการหา: อินเวอร์ส ดีเทอร์มิแนนต์ หรือทรานสโพส แล้วเลือกขนาดเมทริกซ์ (n × n สูงสุด 6)
- กรอกสมาชิกเป็นจำนวนเต็ม ทศนิยม หรือเศษส่วน และเลือกวิธีหา det ที่ครูสอน (ซาร์รัส โคแฟกเตอร์ หรือลดแถว)
- ดูคำตอบแบบเศษส่วนแม่นตรง วิธีทำทีละขั้น เมทริกซ์โคแฟกเตอร์ แอดจอยต์ และการตรวจ A × A⁻¹ = I
สูตรดีเทอร์มิแนนต์และอินเวอร์ส
det[a b; c d] = ad − bc
กฎซาร์รัส (3 × 3 เท่านั้น) เขียนหลักที่ 1 และ 2 ต่อท้ายเมทริกซ์ แล้วนำผลคูณแนวทแยงลงทั้งสามเส้นลบด้วยผลคูณแนวทแยงขึ้นทั้งสามเส้น:
det = (aei + bfg + cdh) − (ceg + afh + bdi)
กระจายโคแฟกเตอร์ ตามแถว i ใด ๆ: det(A) = Σⱼ aᵢⱼ·Cᵢⱼ โดย Cᵢⱼ = (−1)ⁱ⁺ʲ·Mᵢⱼ และ Mᵢⱼ คือ det ของเมทริกซ์ที่ตัดแถว i หลัก j ออก
A⁻¹ = adj(A) ÷ det(A), adj(A) = Cᵀ
หรือใช้วิธีเกาส์-จอร์แดน: ดำเนินการตามแถวกับ [A | I] จนฝั่งซ้ายเป็น I ฝั่งขวาจะเป็น A⁻¹ ถ้าฝั่งซ้ายเกิดแถวศูนย์ แปลว่า A ไม่มีอินเวอร์ส
ตัวอย่างการคำนวณ
โจทย์: ให้ A = [2 1 3; 0 −1 4; 1 2 0] จงหา det(A) และ A⁻¹
- ซาร์รัส: แนวทแยงลง = 2·(−1)·0 + 1·4·1 + 3·0·2 = 4, แนวทแยงขึ้น = 3·(−1)·1 + 2·4·2 + 1·0·0 = 13
- det(A) = 4 − 13 = −9 ไม่เป็นศูนย์ จึงมีอินเวอร์ส
- เมทริกซ์โคแฟกเตอร์ C = [−8 4 1; 6 −3 −3; 7 −8 −2] และ adj(A) = Cᵀ = [−8 6 7; 4 −3 −8; 1 −3 −2]
- A⁻¹ = adj(A) ÷ (−9) = [8/9 −2/3 −7/9; −4/9 1/3 8/9; −1/9 1/3 2/9]
ตรวจ: A × A⁻¹ = I ✓ (ค่าเริ่มต้นของโปรแกรมคือโจทย์ข้อนี้)
สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ที่ใช้บ่อย
| สมบัติ | ผล |
|---|---|
| ทรานสโพส | det(Aᵀ) = det(A) |
| ผลคูณ | det(AB) = det(A)·det(B) |
| อินเวอร์ส | det(A⁻¹) = 1 ÷ det(A) |
| คูณสเกลาร์ (n × n) | det(kA) = kⁿ·det(A) |
| สลับสองแถว | det เปลี่ยนเครื่องหมาย |
| บวกแถวด้วย k เท่าของอีกแถว | det ไม่เปลี่ยน |
| มีแถวศูนย์ หรือสองแถวเท่ากัน/เป็นสัดส่วนกัน | det = 0 |
| เมทริกซ์สามเหลี่ยม | det = ผลคูณสมาชิกแนวทแยงหลัก |
ควรเลือกวิธีไหน
- 2 × 2 ใช้ ad − bc เร็วที่สุด
- 3 × 3 กฎซาร์รัสจำง่าย แต่ใช้กับ 4 × 4 ขึ้นไปไม่ได้ (เป็นข้อผิดพลาดที่พบบ่อยมาก)
- แถวหรือหลักที่มีศูนย์เยอะ กระจายโคแฟกเตอร์ตามแถวนั้น พจน์ที่สมาชิกเป็น 0 ไม่ต้องคำนวณ โปรแกรมเลือกแถวหรือหลักที่มีศูนย์มากที่สุดให้อัตโนมัติ
- 4 × 4 ขึ้นไป การลดแถวเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมใช้การคำนวณน้อยกว่ามาก (ประมาณ n³ ครั้ง เทียบกับ n! พจน์ของการกระจายเต็มรูป)
คำถามที่พบบ่อย
เมทริกซ์แบบไหนไม่มีอินเวอร์ส
เมทริกซ์ที่ไม่ใช่จัตุรัส และเมทริกซ์จัตุรัสที่ det = 0 (เรียกว่าเมทริกซ์เอกฐาน หรือ singular) เช่น [1 2; 2 4] มี det = 4 − 4 = 0 จึงไม่มีอินเวอร์ส
กฎซาร์รัสใช้กับเมทริกซ์ 4 × 4 ได้ไหม
ไม่ได้ ซาร์รัสใช้ได้เฉพาะ 3 × 3 เพราะ det ของ 4 × 4 มี 24 พจน์ แต่การลากเส้นทแยงแบบซาร์รัสได้เพียง 8 พจน์ ต้องใช้การกระจายโคแฟกเตอร์หรือการลดแถวแทน
อินเวอร์สของเมทริกซ์ 2 × 2 หาอย่างไรเร็วที่สุด
สลับตำแหน่ง a กับ d เปลี่ยนเครื่องหมาย b กับ c แล้วหารทุกตัวด้วย ad − bc เช่น [4 7; 2 6] ได้ (1/10)[6 −7; −2 4] = [3/5 −7/10; −1/5 2/5]
ตรวจคำตอบอินเวอร์สอย่างไร
คูณ A กับ A⁻¹ ต้องได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ I (แนวทแยงเป็น 1 ที่เหลือเป็น 0) โปรแกรมแสดงการตรวจนี้ให้ทุกครั้ง
ทรานสโพสคืออะไร
คือการสลับแถวเป็นหลัก สมาชิกตำแหน่ง (i, j) ย้ายไปอยู่ที่ (j, i) เมทริกซ์ขนาด m × n จะกลายเป็น n × m และถ้า Aᵀ = A เรียกว่าเมทริกซ์สมมาตร