โปรแกรมคำนวณทฤษฎีบทพีทาโกรัส (หาด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก)
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก a² + b² = c² โดย c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก (ยาวที่สุด) และ a, b คือด้านประกอบมุมฉาก จึงหา c = √(a² + b²) หรือ a = √(c² − b²) เช่น ด้านประกอบมุมฉาก 5 และ 12 ซม. ได้ c = √(25 + 144) = √169 = 13 ซม.
ประวัติการคำนวณ (เก็บในเครื่องนี้)
วิธีใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
- เลือกว่าต้องการหาด้าน c (ด้านตรงข้ามมุมฉาก), ด้าน a, ด้าน b หรือตรวจว่าสามด้านที่มีเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่
- กรอกความยาวด้านที่รู้ และเลือกหน่วย (ซม. ม. นิ้ว ฯลฯ) เพื่อให้หน่วยของพื้นที่ถูกต้อง
- อ่านคำตอบทั้งแบบกรณฑ์อย่างง่ายและทศนิยม พร้อมวิธีทำ มุมทั้งสาม พื้นที่ เส้นรอบรูป และรูปสามเหลี่ยม
สูตรทฤษฎีบทพีทาโกรัส
a² + b² = c²
| ต้องการหา | สูตร |
|---|---|
| ด้านตรงข้ามมุมฉาก c | c = √(a² + b²) |
| ด้านประกอบมุมฉาก a | a = √(c² − b²) |
| ด้านประกอบมุมฉาก b | b = √(c² − a²) |
| พื้นที่ | ½ × a × b |
| ส่วนสูงที่ลากไปยังด้าน c | h = ab ÷ c |
| มุม α (ตรงข้ามด้าน a) | tan α = a ÷ b, β = 90° − α |
บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส: ถ้าสามเหลี่ยมมีด้านยาว a ≤ b ≤ c แล้ว a² + b² = c² → มุมฉาก, a² + b² > c² → มุมแหลม, a² + b² < c² → มุมป้าน
ตัวอย่างการคำนวณ
โจทย์: บันไดยาว 13 ฟุต พาดกำแพง เชิงบันไดห่างจากกำแพง 5 ฟุต ปลายบันไดอยู่สูงจากพื้นกี่ฟุต
- บันไดคือด้านตรงข้ามมุมฉาก c = 13 ระยะจากกำแพงคือ b = 5 ต้องการหาความสูง a
- a² = c² − b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
- a = √144 = 12 ฟุต
โจทย์: สี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านยาว 7 ซม. เส้นทแยงมุมยาวเท่าไร → c = √(7² + 7²) = √98 = 7√2 ≈ 9.8995 ซม.
ตารางชุดพีทาโกรัส (Pythagorean triples) ที่พบบ่อย
ชุดจำนวนเต็มบวก (a, b, c) ที่ทำให้ a² + b² = c² เรียกว่าชุดพีทาโกรัส ตารางนี้คือชุดปฐมฐาน (ห.ร.ม. ของสามจำนวนเป็น 1) ทั้งหมดที่ c ≤ 100 นำไปคูณด้วยจำนวนเต็มเดียวกันจะได้ชุดใหม่ เช่น (3, 4, 5) × 2 = (6, 8, 10), × 3 = (9, 12, 15)
| a | b | c | m | n |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 2 | 1 |
| 5 | 12 | 13 | 3 | 2 |
| 8 | 15 | 17 | 4 | 1 |
| 7 | 24 | 25 | 4 | 3 |
| 20 | 21 | 29 | 5 | 2 |
| 12 | 35 | 37 | 6 | 1 |
| 9 | 40 | 41 | 5 | 4 |
| 28 | 45 | 53 | 7 | 2 |
| 11 | 60 | 61 | 6 | 5 |
| 16 | 63 | 65 | 8 | 1 |
| 33 | 56 | 65 | 7 | 4 |
| 48 | 55 | 73 | 8 | 3 |
| 13 | 84 | 85 | 7 | 6 |
| 36 | 77 | 85 | 9 | 2 |
| 39 | 80 | 89 | 8 | 5 |
| 65 | 72 | 97 | 9 | 4 |
ทุกชุดปฐมฐานสร้างได้จากสูตรของยุคลิด a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n² เมื่อ m > n > 0, m กับ n เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ และตัวหนึ่งเป็นคู่อีกตัวเป็นคี่ (คอลัมน์ m, n ด้านบน — โปรแกรมเรียงด้านสั้นไว้ก่อน)
ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในชีวิตจริง
- งานช่างและก่อสร้าง ช่างใช้เชือกหรือตลับเมตรวัด 3–4–5 (หรือ 60–80–100 ซม.) เพื่อตั้งฉากมุมห้องหรือฐานรากให้ได้ 90° พอดี
- ขนาดจอทีวีและมือถือ ขนาดจอวัดตามเส้นทแยงมุม จอ 16:9 ขนาด 55 นิ้วจึงกว้างประมาณ 47.9 นิ้ว สูง 27 นิ้ว
- ระยะทางบนแผนที่ ระยะเส้นตรงระหว่างสองจุดบนระนาบคือ √(Δx² + Δy²) ซึ่งก็คือพีทาโกรัสนั่นเอง
- ความยาวบันได หลังคา และทางลาด หาความยาวจริงจากความสูงและระยะในแนวราบ
คำถามที่พบบ่อย
ด้านไหนคือด้าน c
c คือด้านตรงข้ามมุมฉากเสมอ เป็นด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉาก ส่วน a กับ b คือสองด้านที่ประกอบเป็นมุมฉาก จะสลับกันก็ได้
ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่มุมฉากได้ไหม
ไม่ได้โดยตรง สามเหลี่ยมทั่วไปต้องใช้กฎของโคไซน์ c² = a² + b² − 2ab·cos C ซึ่งจะกลายเป็นพีทาโกรัสเมื่อ C = 90° (cos 90° = 0)
คำตอบเป็นรากที่สองเขียนอย่างไร
ทำให้อยู่ในรูปอย่างง่ายโดยดึงกำลังสองสมบูรณ์ออกมา เช่น √98 = √(49 × 2) = 7√2 และ √28 = √(4 × 7) = 2√7 โปรแกรมแสดงทั้งรูปกรณฑ์และทศนิยมให้
3, 4, 5 เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากจริงไหม
จริง เพราะ 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² ตามบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส สามเหลี่ยมนี้มีมุมฉากอยู่ตรงข้ามด้านที่ยาว 5