โปรแกรมตรวจสอบว่าจุด 3 จุดอยู่บนเส้นตรงเดียวกันหรือไม่ (Collinearity)
จุด (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) อยู่บนเส้นตรงเดียวกันก็ต่อเมื่อ x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂) = 0 (พื้นที่สามเหลี่ยมเป็นศูนย์) หรือเทียบเท่ากับความชันของ P₁P₂ เท่ากับความชันของ P₂P₃ เช่น (1, 2), (3, 6), (5, 10) ได้ 1(6 − 10) + 3(10 − 2) + 5(2 − 6) = 0 จึงอยู่บนเส้นตรง y = 2x เดียวกัน
ประวัติการคำนวณ (เก็บในเครื่องนี้)
วิธีใช้จุด 3 จุดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
- กรอกพิกัด (x, y) ของจุด P₁, P₂ และ P₃ ใส่ค่าติดลบหรือเศษส่วนได้
- โปรแกรมคำนวณค่า D = x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂) และความชันของแต่ละคู่จุด แล้วสรุปว่าอยู่บนเส้นตรงเดียวกันหรือไม่
- อ่านวิธีทำทั้งสองวิธี สมการเส้นตรง ระยะห่างระหว่างจุด พื้นที่สามเหลี่ยม (ถ้าไม่ collinear) และดูกราฟประกอบ
วิธีตรวจสอบว่าจุด 3 จุดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
D = x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)
ถ้า D = 0 จุดทั้งสามอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (collinear) ถ้า D ≠ 0 จุดทั้งสามเป็นจุดยอดของสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่ ½|D| ค่า D คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 3 × 3 ที่แต่ละแถวเป็น [x, y, 1]
| วิธี | เงื่อนไข collinear | หมายเหตุ |
|---|---|---|
| พื้นที่ / ดีเทอร์มิแนนต์ | x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂) = 0 | ใช้ได้ทุกกรณี รวมเส้นตั้งฉาก |
| ความชัน | (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = (y₃ − y₂)/(x₃ − x₂) | ถ้าตัวหารเป็น 0 ทั้งคู่ เป็นเส้นตั้งฉาก x = ค่าคงที่ |
| ระยะทาง | P₁P₂ + P₂P₃ = P₁P₃ (เมื่อ P₂ อยู่ตรงกลาง) | ใช้ยืนยันและบอกว่าจุดใดอยู่ระหว่าง |
| แทนค่าในสมการเส้นตรง | หาสมการผ่าน P₁P₂ แล้วแทน P₃ ได้สมจริง | สมการ y − y₁ = m(x − x₁) |
ตัวอย่างการคำนวณ
โจทย์: จุด A(1, 2), B(3, 6), C(5, 10) อยู่บนเส้นตรงเดียวกันหรือไม่
- วิธีดีเทอร์มิแนนต์: D = 1(6 − 10) + 3(10 − 2) + 5(2 − 6) = −4 + 24 − 20 = 0 → อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
- วิธีความชัน: mAB = (6 − 2)/(3 − 1) = 2 และ mBC = (10 − 6)/(5 − 3) = 2 เท่ากัน และมีจุด B ร่วม → อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
- สมการเส้นตรง: y − 2 = 2(x − 1) → y = 2x ตรวจ C: 2(5) = 10 ✓
โจทย์: จุด (0, 0), (4, 0), (0, 3) → D = 0(0 − 3) + 4(3 − 0) + 0(0 − 0) = 12 ≠ 0 จึงไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และเป็นสามเหลี่ยมพื้นที่ ½ × 12 = 6 ตารางหน่วย
ทำไมสูตรดีเทอร์มิแนนต์จึงใช้ได้
พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) หาได้จากสูตรเชือกผูกรองเท้า (shoelace formula) A = ½|x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)| ซึ่งเท่ากับครึ่งหนึ่งของค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์ ถ้าจุดทั้งสามเรียงอยู่บนเส้นตรง สามเหลี่ยมจะ “แบน” และมีพื้นที่เป็นศูนย์พอดี วิธีนี้ดีกว่าวิธีความชันตรงที่ไม่ต้องกังวลเรื่องหารด้วยศูนย์เมื่อเส้นตั้งฉากกับแกน x และเครื่องหมายของ D ยังบอกทิศทางการวนของจุดด้วย (บวก = ทวนเข็มนาฬิกา)
การนำไปใช้
- เรขาคณิตวิเคราะห์ ม.4 โจทย์หาค่า k ที่ทำให้จุด (k, 3), (2, 5), (4, 9) อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ให้ตั้ง D = 0 แล้วแก้สมการหา k
- คอมพิวเตอร์กราฟิกและ GIS ใช้ตรวจว่าจุดอยู่บนขอบของรูปหลายเหลี่ยมหรือไม่ และใช้เครื่องหมายของ D ในการหาเปลือกนูน (convex hull)
- งานสำรวจ ตรวจว่าหมุดหลักเขตสามหมุดวางอยู่ในแนวเดียวกันหรือไม่
คำถามที่พบบ่อย
collinear แปลว่าอะไร
collinear (คอลลิเนียร์) หมายถึงจุดหลายจุดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จุดสองจุดใด ๆ อยู่บนเส้นตรงเดียวกันเสมอ จึงต้องมีอย่างน้อยสามจุดจึงจะมีคำถามนี้
ถ้าค่า x ของจุดเท่ากันหมดจะใช้วิธีความชันได้ไหม
ความชันจะหาค่าไม่ได้เพราะตัวหารเป็น 0 แต่ถ้า x เท่ากันทั้งสามจุด จุดเหล่านั้นอยู่บนเส้นตั้งฉาก x = ค่าคงที่ จึง collinear แน่นอน วิธีดีเทอร์มิแนนต์จะให้ D = 0 โดยไม่มีปัญหานี้
จุด 3 จุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันมีพื้นที่สามเหลี่ยมเท่าไร
พื้นที่ = ½|D| โดย D = x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂) โปรแกรมแสดงค่านี้ให้พร้อมระยะห่างระหว่างจุดและจุดเซนทรอยด์
ใส่พิกัดเป็นเศษส่วนได้ไหม
ได้ พิมพ์ 1/2 หรือ −3/4 ลงในช่องได้เลย โปรแกรมจะคำนวณแบบแม่นตรงด้วยเศษส่วนและแสดงผลเป็นเศษส่วนหรือทศนิยมตามความเหมาะสม