โปรแกรมคำนวณจำนวนเชิงซ้อน (Complex Number)
จำนวนเชิงซ้อน z = a + bi มี i² = −1 บวกลบทำทีละส่วน คูณกระจายแบบทวินาม และหารโดยคูณเศษและส่วนด้วยสังยุคของตัวหาร ค่าสัมบูรณ์ |z| = √(a² + b²) อาร์กิวเมนต์ θ = atan2(b, a) และ zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ) เช่น (3 + 4i)(1 − 2i) = 11 − 2i และ |3 + 4i| = 5, θ ≈ 53.13°
ประวัติการคำนวณ (เก็บในเครื่องนี้)
วิธีใช้จำนวนเชิงซ้อน
- กรอกส่วนจริงและส่วนจินตภาพของ z₁ (และ z₂ ถ้าต้องการบวก ลบ คูณ หาร)
- เลือกการดำเนินการหลัก: + − × ÷ ยกกำลัง n หรือรากที่ n ผลลัพธ์แสดงพร้อมวิธีทำ
- ดูสมบัติของ z₁ (ค่าสัมบูรณ์ อาร์กิวเมนต์ สังยุค รูปเชิงขั้ว) และตำแหน่งบนแผนภาพอาร์กองด์
สูตรจำนวนเชิงซ้อน
z = a + bi, i² = −1, |z| = √(a² + b²), z̄ = a − bi
| การดำเนินการ | สูตร |
|---|---|
| บวก / ลบ | (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i |
| คูณ | (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i |
| หาร | (a + bi)/(c + di) = [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²) |
| รูปเชิงขั้ว | z = r(cos θ + i sin θ) = reiθ โดย r = |z|, tan θ = b/a (ดูจตุภาค) |
| ยกกำลัง (De Moivre) | zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ) |
| รากที่ n | wk = ⁿ√r [cos((θ + 2πk)/n) + i sin((θ + 2πk)/n)], k = 0, …, n − 1 |
การคูณในรูปเชิงขั้ว: ขนาดคูณกัน มุมบวกกัน |z₁z₂| = |z₁||z₂|, arg(z₁z₂) = arg z₁ + arg z₂ ส่วนการหาร ขนาดหารกัน มุมลบกัน
ตัวอย่างการคำนวณ
คูณ (3 + 4i)(1 − 2i): กระจาย = 3 − 6i + 4i − 8i² = 3 − 2i + 8 = 11 − 2i
หาร (3 + 4i) ÷ (1 − 2i): คูณเศษและส่วนด้วยสังยุค 1 + 2i ได้ (3 + 4i)(1 + 2i) / (1² + 2²) = (3 + 6i + 4i + 8i²) / 5 = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i
รูปเชิงขั้วของ 3 + 4i: r = √(9 + 16) = 5, θ = tan⁻¹(4/3) ≈ 53.13° ดังนั้น z = 5(cos 53.13° + i sin 53.13°) และ (3 + 4i)² = 25(cos 106.26° + i sin 106.26°) = −7 + 24i
รากที่ 3 ของ −8: r = 8, θ = 180° → ∛8 = 2 มุม 60°, 180°, 300° ได้ 1 + √3i, −2, 1 − √3i
หาอาร์กิวเมนต์ให้ถูกจตุภาค
θ = tan⁻¹(b/a) ใช้ได้ตรง ๆ เฉพาะเมื่อ a > 0 ถ้า a < 0 ต้องบวกหรือลบ 180° และถ้า a = 0 มุมคือ ±90° ตามเครื่องหมายของ b โปรแกรมใช้ atan2(b, a) ซึ่งจัดการทุกจตุภาคให้ และรายงานมุมหลักในช่วง (−180°, 180°] เช่น −1 − i มีอาร์กิวเมนต์ −135° ไม่ใช่ 45°
ทำไมรากที่ n ถึงมี n ค่า
เพราะมุมของจำนวนเชิงซ้อนเพิ่มได้ทีละ 360° โดยไม่เปลี่ยนค่า เมื่อหารมุมด้วย n จึงได้มุมที่ต่างกัน n แบบ (θ/n, (θ + 360°)/n, …) รากทั้งหมดมีขนาดเท่ากันคือ ⁿ√r และเรียงตัวเป็นจุดยอดของรูป n เหลี่ยมด้านเท่าบนวงกลม เช่น รากที่ 4 ของ 1 คือ 1, i, −1, −i
คำถามที่พบบ่อย
i ยกกำลังสูง ๆ คิดอย่างไร
ใช้วัฏจักร i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1 แล้ววนซ้ำ ดังนั้นหารเลขชี้กำลังด้วย 4 ดูเศษ เช่น i²⁰²⁶ มีเศษ 2 จึงเท่ากับ i² = −1
สังยุคของจำนวนเชิงซ้อนใช้ทำอะไร
ใช้ทำให้ตัวส่วนเป็นจำนวนจริงเวลาหาร เพราะ z · z̄ = a² + b² = |z|² และรากเชิงซ้อนของสมการพหุนามสัมประสิทธิ์จริงจะมาเป็นคู่สังยุคเสมอ
รูปเชิงขั้วกับรูปเลขชี้กำลังต่างกันไหม
เป็นสิ่งเดียวกัน r(cos θ + i sin θ) = re^(iθ) ตามสูตรของออยเลอร์ รูปเลขชี้กำลังสั้นกว่าและทำให้การคูณ หาร ยกกำลังง่ายมาก เพราะบวกลบคูณเลขชี้กำลังได้เลย
โปรแกรมรายงานมุมเป็นองศาหรือเรเดียน
ทั้งสองแบบ และถ้ามุมเป็นเศษส่วนของ π ที่ตัวส่วนไม่เกิน 12 เช่น π/4 หรือ 2π/3 จะแสดงรูปแม่นตรงให้ด้วย